Tuesday, October 28, 2014

Deret Aritmatika dan Geometri

Deret Artimatika

Jika $U_1 , U_2 , U_3 , U_4 , . . . , U_{n-1}, U_n$ merupakan barisan aritmatika, maka
$U_1 + U_2 + U_3 + U_4 + . . . + U_{n-1}+ U_n$ merupakan deret aritmatika.

Jumlah n suku Deret Aritmatika

Jumlah n suku pertama deret aritmatika dinotasikan dengan $S_n$ .
Untuk mendapatkan rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika perhatikan langkah-langkah berikut:
$Sn deret aritmatika$
$2S_n= n(U_1 + U_n)$
$S_n = \frac{n}{2}[U_1 + U_n]$ atau karena $U_n = a + (n-1)b]$ maka
$S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)b]$
Keterangan:
$\begin{array}{rcl} S_n &=& \text{ Jumlah n suku deret aritmatika } \\ n &=& \text{ banyaknya suku } \\ a &=& \text { Suku pertama } \\ b &=& \text{ beda/selisih } \end{array}$
Suku ke-n dari barisan aritmatika juga bisa dicari menggunakan rumus berikut:
$U_n = S_n - S_{n-1}$

Rumus Suku Tengah Barisan Aritmatika

Suatu barisan aritmatika dengan banyaknya suku $2k-1$ dimana $k \geq 2, k \in \text{ bilangan asli }$ maka untuk mencari suku tengahnya dapat digunakan rumus:
$U_k = \frac{1}{2}[U_1 + U_{2k-1}]$
Keterangan:
$\begin{array}{rcl} U_k &=& \text{ suku tengah } \\ U_{2k-1} &=& \text{ suku terakhir } \end{array}$

Deret Geometri

Secara umum, dari suatu barisan geometri $U_1, U_2, .. ,U_n$ dengan $U_1= a$ dan rasio r, Anda dapat memperoleh bentuk umum deret geometri, yaitu $U_1 + U_2 + .. + U_n$ = $a+ar+ar^2+..+ar^{n-1}$ . Seperti pada deret aritmetika, jika Anda menjumlahkan barisan geometri maka Anda akan memperoleh deret geometri. Jika $S_n$ menyatakan jumlah n suku pertama dari suatu deret geometri maka Anda peroleh
$S_n=a+ar+ar^2+..+ar^{n-1}$ …(1)
Untuk mendapatkan rumus jumlah n suku pertama deret geometri, kalikanlah persamaan (1) dengan r, diperoleh
$Sn \cdot r = ar + ar^2 + ar^3 + .. + ar^n$ …(2)
Seperti pada deret aritmetika, pada deret geometri pun Anda akan memperoleh jumlah deret geometri.
Selanjutnya, cari selisih dari persamaan (1) dan persamaan (2). Dalam hal ini, $S_n - (S_n \cdot r)$
Pandang :
$S_n = a+ar+ar^2+..+ar^{n-1}$
$S_n \cdot r = ar + ar^{2} + .. + ar\sp{n-1} + ar^{n}$
Sehingga :
$S_n-(S_n \cdot r) = a-ar^{n}$
$S_n(1-r)=a(1-r^{n})$
$S_n = \frac{a(1-r^n)}{(1-r)}$
Definisi Deret Geometri

Misalkan $U_1, U_2, .. ,U_n$ adalah barisan geometri maka pemjumlahan $U_1 + U_2 + .. + U_n$ adalah deret geometri.
Definisi

Suku ke-n suatu barisan geometri adalah Un.
Contoh :

Jika $U_1 = k, U_2 = 3k$ , dan $U_3$ = 8k + 4 maka $U_5$ = …
a. 81
b. 162
c. 324
d. 648
e. 864
Jawab:

$U_1 = k, U_2 = 3k, U_3 = 8k + 4$
langkah pertama tentukan nilai r.
$\frac{U_2}{U_1}$ = 3k / k = 3
Selanjutnya, tentukan nilai k.
$\frac{U_3}{U_2}$ = $\frac{8k + 4}{3k}$
3 = $\frac{8k + 4}{3k}$
9k = 8k + 4
k = 4
Oleh karena $U_1$ = k maka $U_1$ = 4, dengan demikian,
$U_5 = ar\sp{5-1}$
$= ar^4$
$= 4 \cdot 3^4$
$= 4 \cdot 81$
$= 324$
Rumus Jumlah n Suku Pertama dari Deret Geometri

Misalkan $U_1+U_2+...+U_n$ merupakan deret geometri, dengan suku pertama a dan rasio r, maka jumlah n suku pertama ( $S_n$ ) dari deret tersebut adalah $S_n = \frac{a (1-r^n)}{1-r}$ atau $S_n = \frac{a (r^n - 1)}{r-1}$
Contoh :

Diketahui deret 4 + 12 + 36 + 108 …
Tentukan:
a. rumus jumlah n suku pertama,
b. jumlah 7 suku pertamanya
Jawab:

4 + 12 + 36 + 108 …
Dari deret tersebut diketahui a = 4 dan r = 12/4 = 3

$S_n = \frac{a (r^n - 1)}{r-1}$
$= \frac{4 (3^n - 1)}{3-1}$
$= \frac{4 (3^n - 1)}{2}$
$= 2(3^{n}-1)$
Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama deret tersebut adalah $2(3^{n}-1)$
Jumlah 7 suku pertama
$S_7 = 2(3^7 - 1)$
= 2(2187 – 1)
= 4372
Jadi, jumlah 7 suku pertamanya adalah 4.372.

sumber : atnamatika